Фрагмент

1. Обобщенное описание сигналов.

В зависимости от структуры информационных параметров сигналы подразделяют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.

В соответствии с этим существуют следующие разновидности математических представлений (моделей) детерминированного сигнала:

— непрерывная функция непрерывного аргумента, например непрерывная функция времени (рис. а);

— непрерывная функция дискретного аргумента, например функция, значения которой отсчитывают только в определенные моменты времени (рис. б);

— дискретная функция непрерывного аргумента, например функция времени, квантованная по уровню (рис. в);

— дискретная функция дискретного аргумента, например функция, принимающая одно из конечного множества возможных значений (уровней) в определенные моменты времени (рис. г).

В качестве модели обобщенной модели любого детерминированного сигнала можно предположить модель следующего вида:

где φ_k(t) – координатные (базисные функции);

λ_k – параметры модели сигнала или коэффициенты разложения сигнала, то есть всегда существует разница.

2. Регулярное дискретное временное представление сигналов.

Важным аспектом теории сигналов является проблема дискретного представления непрерывных сигналов. Вопрос формулируется так: существуют ли условия (и если да, то каковы они), при которых любой непрерывной функции x(t) можно поставить во взаимно однозначное соответствие дискретное множество чисел {C_k(x)}, k =…-2,-1,0,1,2,…

Положительный ответ на этот вопрос имел бы как теоретическое, так и практическое значение. Во-первых, рассмотрение случайных величин вместо реализаций непрерывных случайных процессов существенно упрощает решение многих задач, теория становится проще и может быть продвинута дальше.

Во-вторых, соответствие значения x(t) значению {C_k(x)}можно использовать в технических устройствах, работающих с непрерывными сигналами.

Ограничимся более конкретной формулировкой поставленной задачи и рассмотрим условия выполнения равенства

x(t) = ∑C_k(x)⋅φ_k(t).

Функции φk(t) называются координатными функциями, они не должны зависеть от x(t), более того, они заранее известны. Ряд в правой части равенства называется разложение x(t) по координатным функциям. Числовые коэффициенты {C_k(x)} содержат всю информацию об x(t), необходимую для восстановления этой функции, следовательно, {C_k(x)} являются функционалами от функции x(t) (функционалом называется отображение множества функций в множество чисел).

Наиболее известны разложения по системе ортогональных и нормированных функций. Это означает, что функции φk(t) удовлетворяют условиям

∫φ_i(t)⋅φ_kdt = 1 при i = k

∫φ_i(t)⋅φ_kdt = 0 при i ≠ k

Умножим обе части равенства на i(t) и проинтегрируем

∫φ_i(t)⋅x(t)dt = ∑C_k(x)⋅∫φ_i(t)⋅φ_k(t)dt

Такое представление называют рядом Фурье, а {C_k(x)} — коэффициентами Фурье. Условия сходимости ряда Фурье к функции x(t) подробно исследованы и, кратко говоря, сводятся к тому, чтобы были оправданы все необходимые математические операции, а коэффициенты Фурье убывали достаточно быстро.

Значительный интерес привлекли разложения реализаций случайного процесса с ограниченной полосой частот. Для таких сигналов Котельников доказал (1946г.) следующую теорему (теорему отсчетов): любая функция со спектром, находящимся в интервале [0,F], полностью определяется последовательностью ее значений в точках, отстоящих друг от друга на 1/(2⋅F) единиц времени.

x(t) = ∑x(k/2⋅F)⋅{[sin(2⋅π⋅F⋅t — k⋅π)]/(2⋅π⋅F — k⋅π)}

Т.е. мы имеем разложение реализации координатными функциями вида sin(u) /u, сдвинутые относительно друг друга на интервалы времени 1/(2⋅F), с коэффициентами, равными отсчетам самой реализации, взятые в моменты t = k/(2⋅F).

3. Адаптивное дискретное временное представление сигналов.

В данном случае координатами являются мгновенные значения непрерывного сигнала в некоторых точках опроса, не равноотстоящих друг от друга.

На интервалах, где функция меняется в больших пределах, отсчеты берутся чаще, а на интервалах медленного изменения — реже. Для представления сообщения стараются использовать как можно меньшее число отсчетов, но достаточное для восстановления сообщения с заданной погрешностью.

Отсчеты, позволяющие восстановить непрерывное сообщение на приемной стороне с заданной точностью, называются обычно существенными. Известны различные способы адаптивной дискретизации, отличающиеся алгоритмом формирования существенных отсчетов и видом служебной информации. Простейший алгоритм формирования существенных отсчетов заключается в следующем. Пусть последний существенный отсчет был в момент t_i. Для формирования следующей выборки сравнивают текущее значение функции x(t) с х(t_i). Момент t_i+j, при котором |x(t_i+j) — x(t_i)| = e_m, соответствует очередной существенной выборке.

При адаптивной дискретизации отсчеты передаются в случайные моменты. Поэтому для восстановления непрерывного сообщения по отсчетам приемная сторона должна знать, к каким тактовым моментам относятся принятые отсчеты. В связи с этим на приемную сторону приходится передавать дополнительную служебную информацию. Такой информацией могут быть значения тактовых моментов, соответствующих существенным выборкам.

При сравнении различных способов представления это обстоятельство необходимо учитывать. Адаптивные способы дискретизации широко применяют при отсутствии априорной информации о корреляционной функции или спектральной плотности мощности непрерывных сообщений.

Во фрагменте отсутствуют формулы, схемы и изображения.